V sobotu 28. dubna 1906 se narodil Kurt Gödel, matematik rakouského původu, který se stal jedním z nejvýznamnějších logiků všech dob.
V intelektuálním prostředí postsecesní Vídně vytvořil své průlomové dílo – objevil a formuloval dva teorémy o neúplnosti: Z prvního plyne, že žádný formální systém nemůže být zároveň úplný a bezesporný a z druhého, že bezespornost formálního systému nelze uvnitř tohoto systému dokázat. Oba teorémy se opírají o důkaz existence nerozhodnutelné věty, která je prostředky systému formulovatelná, ale nedá se dokázat prostředky tohoto systému. Nepatří do množiny dokazatelných vět, jejichž pravdivost může být důkazem prokázána – je nedokazatelná. Protože ale sama o sobě tvrdí, že je nedokazatelná, tvrdí pravdu a je proto pravdivá. Je případem věty, která se dá prostředky systému formulovat, ale nikoli dokázat a v tomto smyslu je pak systém neúplný: Nedají se v něm dokázat všechny pravdivé věty, které se v něm dají formulovat. K důkazu vět Gödel rozvinul nebo zcela nově vyvinul několik matematických postupů či technik. Například tzv. Gödelovo číslování, které je unikátním kódovacím systémem, který umožňuje jednoznačný převod mezi formulemi a čísly. Kódování spolu se zavedením rekurzívních funkcí „převádí logiku na aritmetiku“ a některé části Gödelova důkazu připomínají to, čemu dnes říkáme programovací jazyk počítačů (podobný jazyku Lisp). (Srovnatelný je zde „převod geometrie na aritmetiku“, který provedl v 17. století René Descartes a který je dnes znám jako analytická geometrie).
Další inovací je zvláštní použití Cantorovy diagonální metody, která je jednou ze základních technik teorie množin. Další technikou spojenou s Cantorovou metodou je postup využívající paradoxy jako regulérní matematicko-logické prostředky, které v logice hrají podobnou roli jako Möbiova páska nebo Kleinova láhev v topologii. Gödelovy věty položily pevné základy matematické logice, teorii důkazu v matematice, teorii výpočetní složitosti, programování počítačů a základům matematiky skrze teorii množin. A právě rozvinutí teorie množin věnoval Gödel největší úsilí v 30. létech, kdy se úspěšně pokusil prokázat nezávislost axiomu výběru na ostatních axiomech teorie množin a jen částečně úspěšně o prokázání téhož u hypotézy kontinua. Zdravotní problémy a nešťastné události v Evropě způsobily změnu v zaměření výzkumu a první léta v Americe se věnoval filozofii matematiky. Nejvýznamnějšími z tohoto období jsou dvě práce věnující se Russellově matematické logice a Cantorovu problému kontinua.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gödel
[2] https://cs.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gödel
