Je s podivem, že nebyl napsán moderní profesionální manuál, jenž by pokročil dále, totiž ke kvantitativní analýze vojenské strategie. Teprve talentovaný viktoriánský inženýr Frederick Lanchester se pustil do hledání matematického popisu (později označovaného jako „operační analýza“) nejúčinnějšího způsobu, jímž lze vykonat sled navazujících úloh. A tak vstoupily matematické náhledy na válečná bojiště. (Lanchester si ovšem našel čas i k tomu, aby postavil jedno z prvních aut na benzin, vynalezl posilovač řízení a kotoučové brzdy.)
V
roce 1916, uprostřed první světové války, sestavil několik
jednoduchých rovnic k popisu konfliktu mezi dvěma armádami. Jeho rovnice
navzdory své jednoduchosti odhalily řadu překvapujících skutečností o
vedení války a vojenští stratégové je berou v úvahu dodnes. Ve
zpětném pohledu lze konstatovat, že se jimi intuitivně řídili i velcí
stratégové minulosti, třeba Nelson a Wellington. Na stejných zásadách by
měli stavět tvůrci populárních válečných her, ať již deskových nebo
počítačových.
Lanchester
navrhl jednoduchý matematický popis bitvy mezi dvěma armádami, jimž
říkejme Dobří (kteří mají D bojových jednotek) a Zlí (mají Z bojových
jednotek). Bojovými jednotkami mohou být například vojáci, tanky či
děla. Začneme počítat čas t od počátku boje, tedy od nulté hodiny t = 0.
Chceme vědět, jak se počty jednotek D(t) a Z(t) mění během boje v
závislosti na rostoucím čase. Pokud D (nebo Z) bojových jednotek zničí d
(nebo z) jednotek nepřítele, pak d a z měří bojovou efektivitu
příslušných stran. Předpokládejme, že rychlost ničení jednotek každé
strany je úměrná počtu jednotek nepřítele a jejich účinnosti. To
znamená, že
dZ/dt = - dD
a
dD/dt = - zZ
Vydělíme-li jednu rovnici druhou, pak integrací snadno získáme důležitý vztah [2]
zZ2 - dD2 = C,
kde C je konstanta.
Tento jednoduchý vzorec je nesmírně poučný. Ukazuje, že celková bojová síla každé strany je úměrná čtverci počtu jednotek, jimiž tato strana disponuje, ale závisí pouze lineárně na jejich efektivitě. Museli bychom zečtyřnásobit efektivnost každého vojáka či kusu zařízení, abychom vykompenzovali dvojnásobnou početní převahu nepřítele. Velké armády jsou zkrátka lepší. Je-li naší strategií rozbít síly protivníka na menší skupiny a zabránit jim spojit se, pak jsme zvolili velmi dobrou taktiku. Přesně to učinil Nelson v bitvě u Trafalgaru i v dalších bitvách proti francouzskému a španělskému námořnictvu. V nedávné době, při invazi do Iráku v roce 2003, přišel americký ministr obrany Donald Rumsfeld se zvláštní taktikou: místo aby použil velké invazní síly, nasadil malé skupiny těžce vyzbrojených vojáků (s malým D a velkým d), jimž teoreticky může uštědřit porážku větší Z, i když má menší z.
Lanchesterův zákon druhých mocnin vyjadřuje skutečnost, že při moderním vedení válek může jedna bojová jednotka zabít mnoho protivníků a zároveň být napadána z mnoha stran současně. Kdyby došlo na boj muže proti muži toho druhu, že se každý voják střetne jen s jedním protivníkem, pak by výsledek bitvy závisel na rozdílu zZ - dD, a nikoli na rozdílu zZ2 - dD2 . Kdyby však byl boj muže proti muži všeobecnou řežbou, v níž se všechny bojové jednotky jedné strany střetávají se všemi jednotkami protivníka, pak bude platit pravidlo druhých mocnin. Jste-li v menšině, vyhněte se tomu!
Při dalším pohledu na Lanchesterův vzorec vidíme, že na počátku bitvy můžeme na základě hodnot z, Z, d a D vypočítat konstantu C. Je to prosté číslo. Je-li kladné, pak bude v libovolném čase zZ2 větší než dD2 a Z se nikdy nemůže snížit na nulu. Na konci bitvy, mají-li jednotky stejnou účinnost (z = d), bude počet přeživších roven odmocnině rozdílu druhých mocnin počtů jednotek na každé straně, takže je-li například D = 5 a Z = 4, zbudou tři přeživší.
Lanchesterovy jednoduché modely mají řadu mnohem komplikovanějších variací. [3] Lze kupříkladu sloučit jednotky s různou účinností, zahrnout do výpočtu podpůrné jednotky zásobující bojující vojáky, zohlednit náhodné faktory, jež změní interakce mezi vojsky, [4] či zahrnout do rovnic únavu a opotřebení tím způsobem, že dovolíme, aby se veličiny z a d snižovaly s časem. Ale základem všeho jsou jednoduché Lanchesterovy úvahy. Sdělují nám mnoho zajímavých věcí, z nichž některé by ocenil i Sun-c', ale zároveň otevírají prostor ke stále sofistikovanějšímu modelování. Zkuste si, zda to funguje, až si budete hrát na vojáky anebo budete sedět u počítačových her s vnoučaty či pravnoučaty. Budete-li sami počítačové hry vyvíjet, využijte těchto pravidel a povede se vám namodelovat dobře vyvážená soupeřící vojska: budete totiž vědět, proč samotné počty bojových jednotek nejsou ve válečné hře rozhodujícím faktorem.
[1] The Art of War by Sun Tzu - Special Edition, přeložil a anotacemi o patřil L. Giles, EI Paso, TX: El Paso Norce Press, 2005 (česky například jako Umění války, B4U, 2008).
[2] Řešení je zřejmé, jelikož d^2Z/dt^2 = - ddD/dt = dzZ, takže Z(t) = = P exp(t\sqrt{z}d) + Q exp(-t\sqrt{z}d), kde P a Q jsou konstanty určené počátečním počtem jednotek v čase t = 0 dle vztahu Z(0) = P + Q. Podobné vztahy platí pro D(t).
[3] F. W. Lanchester, „Mathematics in Warfare“ v The World of Mathematics, ed. J. Newman, sv. 4, s. 2138- 157, NY: Simon & Schuster, 1956; T. W. Lucas a T. Turkes, Naval Research Logistics, 2003; 50, 197; N. MacKay, Mathematics Today, 2006; 42, 170.
[4] Mohli bychom například použít obecnější model interakcí jednotek D a Z, v němž dZ/dt = - dD^pz^q a dD/dt = - zZ^pD^q. To znamená, že konstantní veličinou během bitvy je dD^w - zZ^w, kde w = l + p - q. Jednodušší model, jejž jsme užili my, vznikne pro p = 1 a q = 0. Model s naprosto nahodilou střelbou a distribucí jednotek by měl p = q = 1, a tedy w = 0. Výsledek boje v posledním případě by byl určen rozdílem v efektivitě, kdežto počet jednotek by nehrál sebemenší roli. Analytici se snaží aplikovat nejvhodnější hodnoty p a q též na bitvy minulé, aby dodatečně porozuměl i jejich výsledku.
