neděle 3. března 2019

Kalendárium, 3. březen 1845



V neděli 3. března 1845 se v ruském Petrohradu narodil Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, byl to významný německý matematik a logik. Kromě matematiky se především v pozdějším věku intenzivně věnoval teologii, zejména ve vztahu k vlastní práci o nekonečnu. 
V letech 1872 až 1874 dokázal Cantor tvrzení o spočetnosti množiny racionálních čísel i algebraických čísel. K nim patří i důkaz o nespočetnosti množiny reálných čísel. 
V té době se Cantor začal věnovat budování teorie množin. Dokázal větu, která je dnes pojmenována po něm a velmi zjednodušeně říká, že množina všech podmnožin dané množiny obsahuje více prvků než původní množina. To je celkem zřejmé pro konečné množiny, ale revolučnost této věty je v tom, že platí i pro nekonečné množiny. V konečném důsledku to znamená, že existuje více nekonečen než jedno. Do té doby si totiž nikdo neuměl představit „větší“ nekonečno, než je počet přirozených čísel. Cantor dokázal, že reálných čísel je „více“ než přirozených čísel. Položil si samozřejmě otázku, zda je počet reálných čísel „stejný“ jako počet všech podmnožin množiny čísel přirozených. Dnes je známá kladná odpověď na tuto otázku. Formuloval problém, zda existuje množina s početností mezi početností přirozených a reálných čísel. Tato tzv. hypotéza kontinua patří k nerozhodnutelným tvrzením v axiomatické teorii množin.  
Cantor se začal přátelit s Dedekindem, intenzivně si dopisovali a díky Dedekindovi se podařilo zlomit Kroneckerův odpor a zveřejnit Cantorovy práce v odborném tisku. Z této doby (1878) pochází také další ze slavných vět (opět zjednodušeno): počet bodů na úsečce je „stejný“ jako počet bodů ve čtverci, resp. v krychli jakékoli (spočetné) dimenze. Je to natolik paradoxní tvrzení, že i sám Cantor se svému důkazu podivoval a napsal Dedekindovi: „Vidím to před sebou, ale nemohu tomu uvěřit.“
Teorie množin ovšem vedla vzhledem ke své novosti k řadě  paradoxů. Některé byly řešitelné, další čekaly na své vyřešení celá léta. Paradoxy vedly k zavedení pojmů kardinální číslo nebo ordinální číslo. Cantor se při své práci dostal k zajímavým útvarům, kterým dnes říkáme fraktály, mezi něž patří Cantorovo diskontinuum nebo Cantorův prach. Ty mají udivující vlastnosti, které se vymykají běžné zkušenosti. Cantor se značně věnoval hypotéze kontinua, avšak důkaz se mu nedařil, a dokonce kvůli tomu začal trpět depresemi, které přetrvaly až do jeho smrti v roce 1918.  

[1] https://cs.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
[2] Fuchs, Eduard: Teorie množin pro učitele, Masarykova univerzita v Brně, Brno 1999.

Žádné komentáře: